Из «Введения в анализ бесконечных», т.1, Л. Эйлер
Задача №40
Доказать, что логарифмы двух чисел в любой системе сохраняют одно и то же отношение.
Решение.
(a +blgx)lgx = lgc, пусть lgx = y, тогда by^2 + by – lgc = 0. Найдя y, находим х.
Задача №41
Пусть к концу каждого века число людей удваивается; требуется найти годовой прирост.
Решение.
Если предположим, что число людей возрастает ежегодно на 1/х свою часть, и, притом вначале число людей было равно n, то по истечении 100 лет, это число будет равно [((1+х)/х)^100]*n.
Это должно быть равно 2nи тогда (1+x)/x = 2^1/100, логарифмируем: lg(1+x)/x = 1/100, lg2 = 0,0030103, отсюда (1+х)/х = 10069555/10000000, поэтому х ≈144.
Итак, достаточно ежегодного прироста людей на 1/144 часть.
Задача №42
Пусть число людей увеличивается ежегодно на 1/100 свою часть; спрашивается, через сколько лет число людей удесятериться.
Решение.
Положим, что это наступит через х лет, причем число людей вначале было равно n;
стало быть по истечении х лет оно будет равно [(101/100)^x]*n, а так как оно должно равняться 10n, то
(101/100)^x = 10, xlg(101/100) = lg10, x = lg10/(lg101-lg100) = 1/(lg101-2), x≈231.
Итак, через 231 год число людей, если ежегодное приращение составляет только 1/100 часть, станет больше в 10 раз, отсюда
через 462 года оно станет в 100 раз, а через 693 года в 1000 раз больше.
Задача №43. Задача Ж. Озанама.
Семеро друзей собрались к обеду, но между ними возник спор, кому с кем садиться. Чтобы прекратить пререкания, кто-то из присутствующих предложил всем сесть за стол как придется, но с условием, чтобы в следующие дни обедать вместе, причем каждый раз садиться по разному, до тех пор, пока не будут испробованы все комбинации.
Спрашивается, сколько раз придется им обедать вместе для этой цели?
Решение.
Задача №44. Середина 14 века. Задача Нарайана.
Подсчитать стадо коров и телок, происходящее от одной коровы за 20 лет, по условию корова в начале каждого года рожает телку, а телки дают такое же потомство, достигнув трех лет.
Решение.
В начале 1-го года стадо состояло из 2-х животных, в начале 2-го –из 3-х, затем из 4 и 6.
Начиная с 4-го года численность стада можно выразить рекуррентным соотношением:
S(k) = S(k-1)+S(k-3).
С помощью соотношения последовательно вычисляем S(20) =2745.
Задача №45 Задача о кроликах или числа Фибоначчи
В 1202 году итальянский купец Леонардо из Пизы (1180—1240), более известный под прозвищем Фибоначчи, один из самых значительных математиков средневековья, сформулировал такую задачу:
"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения."
Рост численности кроликов можно проследить на схеме, выполненной в виде
Задача №46. Китай. «Математический трактат о чжоу-би»
В центре бассейна со стороной 1 чжан = 10 чи растет камыш, выступающий над водой на 1 чи. Оттянутый камыш достигает берега. Какова глубина воды?
Решение.
Сторона бассейна 2а, камыш выступает на высоту h, глубина х.
По теореме Пифагора (х+h)^2 – x^2 = a^2.
(x+1)^2-x^2 = 5^2, 2x+1=25, x=12 (чи)
«Математика в девяти книгах»
(«Цзю чжан суань шу» Авторы неизвестны. Лю Хуэй, комментировавший «Математику» в 3 в. , сообщает, что она была составлена по более ранним источникам видным чиновником финансовой службы Чжан Цанем (умер в 152 г. до н.э.)
Задача №47.
В бочке в 10 доу есть неизвестное количество пшена. Бочка дополнена неочищенным просом, и если последнее очистить, то всего получится 7 доу пшена.
Решение.
Запишем уравнение.
х +3/5(10-х)=7 (3/5 – коэффициент перехода от проса к пшену из книги 2 «Математики»)
х = 2,5.
Задача №48.
Наверху стены в 90 цуней растет тыква, стебель которой за день вырастает на 7, внизу растет кабачок, стебель которого вырастает за день на 10. Когда они встретятся?
Решение.
Запишем уравнение (7+10)х = 90.,
х = 90/17=5+5/17 дней.
Задача №49.
Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу. Из двух снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого урожая получили 26 доу.
Спрашивается, сколько получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая?
Решение.
| Весь урожай |
Хороший урожай |
Средний урожай |
Плохой урожай |
| |
В 1-м снопе х доу |
В 1-м снопе y доу |
В 1-м снопе z доу |
| 39 доу |
3 снопа |
2 снопа |
1 сноп |
| 34 доу |
2 снопа |
3 снопа |
1сноп |
| 26 доу |
1 сноп |
2 снопа |
3снопа |
|
|
|
|
3x+2y+z=39, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=26.
x-y=5, x=5+y.
z=34-2(5+y)-3y, z=24-5y.
5+y+2y+(24-5y)*3=26, -12y=26 -77, y=51/12,
y=4+1/4,
X=9+1/4,
z = 2+3/4
Ответ.
Из одного снопа хорошего урожая получается 9,25 доу, из одного снопа среднего урожая получается 4,25 доу, из одного снопа плохого урожая получается 2,75 доу.
Задача №50.
2 снопам хорошего урожая, 3 снопам среднего урожая, 4 снопам плохого урожая не хватает до 1 доу соответственно по 1 снопу среднего урожая, плохого урожая, хорошего урожая.
Спрашивается, сколько получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая?
Решение.
В 1-м снопе хорошего х доу, в 1-м снопе среднего y доу, в 1-м снопе плохого z доу
2х+у =1, 3у+z=1, 4z+x=1.
Y=1-2x, z=1-3y, 4-12(1-2x)+x=1, 25x=9,
x=0,36, y=0,28, z=0,16.
Ответ.
Из одного снопа хорошего урожая получается 0,36 доу, из одного снопа среднего урожая получается 0,28 доу, из одного снопа плохого урожая получается 0,16 доу.
| 
