Старинные задачи на переливания

Задача №26 Четыре бочки.

Хозяин имеет четыре бочки А, В, С и Д, причем бочки С и Д одинаковой вместимости.

Пусть бочки А и В наполнены квасом, если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 ее содержимого, если же содержимым бочки В наполнить бочку Д, то в бочке В останется 1/9 ее содержимого. Пусть бочки С и Д наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В, надо взять содержимое бочек С и Д и добавить еще 9 ведер кваса. Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 1/5 ее содержимого, то вместимость бочки А равна 5/4 вместимости С. Так как после наполнения бочки Д в бочке В останется 1/9 ее содержимого, то вместимость В равна 9/8 вместимости Д. Так как вместимость бочек С и Д одинакова, то вместимость бочек А и В равна 5/4 + 9/8 = 19/8 = 2 + 3/8 вместимости бочки С. Из условия задачи следует, что 3/8 вместимости бочки С составляет 9/ 3/8 = 24 ведрам. Откуда получаем, что вместимость В равна 9/8*24 = 27 ведрам, вместимость А равна 5/4*24 = 30 ведрам, вместимость В равна 9/8*249 = 27 ведер.

Задача №27 Сколько останется воды?

Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока.

Сколько в ведре после этого останется воды?

Решение.

После первого переливания в ведре останется 4 литра воды. Отливая из ведра 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/5 часть содержащейся в смеси воды. Поэтому после второго переливания в ведре останется 4 – 1/5*4 = 16/5 литра воды. После третьего переливания в ведре останется 16/5-1/5*16/5 = 64/25 литров воды.

Задача №28 Можно ли отлить половину сока?

Из бочки, содержащей 100 литров сока, отливают 1 литр и вливают в нее затем 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 литр смеси и опять вливают в нее 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки опять отливают один литр смеси и вливают 1 литр воды, и так делают неоднократно. Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 литров воды и 50 литров сока?

Решение.

После первого переливания в бочке останется 99 литров сока. Отливая из бочки 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/100 часть содержащегося в смеси сока. Поэтому после второго переливания в бочке останется 99- 99/100 = 99*(1-1/100) литров сока. После третьего переливания в ведре останется 99*(1-1/100)* (1-1/100) литров сока. После n переливаний количество множителей (1-1/100) станет (n – 1). Если бы после этого в бочке осталось 50 литров сока, то выполнялось бы равенство: 99*(1-1/100)^(n-1) = 50 или 99^n = 50*100^(n-1) Так как для любого натурального n левая часть равенства нечетна, а правая четна, получаем противоречие, доказывающее, что данное переливание невозможно.

Задача №29 О сплаве серебра

Имеется серебро: одно одиннадцатой пробы, а другое четырнадцатой пробы. Сколько серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра двенадцатой пробы?

Решение. x - количество серебра 11-й пробы, у - количество серебра 14-й пробы. Серебра в х - 11/96*х фунтов, серебра в y - 14/96*y фунтов. В 1-м фунте серебра 12-й пробы - 12/96 фунтов. Значит,

х+y=1 и 11/96*х + 14/96*y =12/96,

11х + 14y = 12 , 11x + 14(1-x)=12, 3x=2, x=2/3фунта, y = 1/3 фунта