1 способ.
Допустим, что циферблат разбит на 12 частей. Рассмотрим какое-то одно из положений стрелок, о которых идет речь в условии. Пусть одна стрелка занимает положение x , другая– y ; х и у не меньше 0, но меньше 12 . Если первую стрелку считать часовой, а вторую– минутной, то должно выполняться равенство
x=a+5y/60, (1)
где a – целое число часов,0≤ a ≤11 . Аналогично, если первая стрелка минутная, а вторая– часовая, то
y=b+5x/60, (2)
где b – целое число часов, 0≤ b ≤11 . Систему из двух равенств(1) и(2) можно заменить на эквивалентные:
Здесь 0≤ a ≤11 , 0≤ b ≤11 – целые числа. Каждая пара (x,y) , удовлетворяющая этой системе, является ее решением. Их всего 122=144 . Cлучаи, когда x=y , т.е. когда a=b нужно исключить. Остается 132 .
2 способ.
Положим рядом с нашими часами (справа) другие, воображаемые, которые идут ровно в 12 раз быстрее. Пустим и те и другие часы одновременно, когда они показывают 12 часов; тогда часовая стрелка правых часов все время совпадает с минутной левых. Ясно, что интересующие нас "неразличимые" положения стрелок– в точности те, когда часовая стрелка левых совпадает с минутной правых, быстрых часов. Из 144 оборотов, которые сделает минутная стрелка правых часов за то время, пока часовая стрелка "нормальных" сделает один оборот, на каждом обороте произойдет одно совпадение (включая начальную точку первого оборота); из них нужно исключить 12 случаев, когда совпадают все четыре стрелки,– остается 132 .
Ответ
Таких положений существует 132. Другими словами, существует 66 пар расположений стрелок таких, что в каждой из этих пар одно расположение получается из другого заменой часовой стрелки на минутную и минутной на часовую ; разумеется, при этом не рассматриваются такие положения, когда направления часовой и минутной стрелок совпадают: в этих случаях время определяется однозначно.
|
