Докажем от противного, что получить звание мастера могли не более 7 участников турнира. Пусть получивших звание мастера было 8. Тогда каждый набрал не менее 0, 7 . 11 = 7, 7 очка, то есть не менее 8 очков. Таким образом, все они в сумме набрали не менее 8 . 8 = 64 очков. С другой стороны, не получат звание мастера 4 человека. Значит, в партиях с ними каждый из получивших звание мастера набрал не более 4 очков (даже если выиграл все партии). Это даёт не более 4 . 8 = 32 очков.
Значит, участники, ставшие мастерами, набрали в партиях между собой не менее 32 очков. Но они сыграли между собой только 8 . 7/2 = 28 партий (каждый сыграл с семью другими, при этом каждая партия считалась два раза). Противоречие.
Покажем, как ещё можно найти, сколько партий сыграли между собой 8 шахматистов. Если записать результаты партий в таблицу 8×8, то у нас останется свободной диагональ (так как партий с самим собой не играется) и на каждую партию придётся по две клетки: в строке одного из игроков и в строке другого. Таким образом, партий будет (8 . 8 - 8)/2 = 28.
Если же звание мастера получили 9 или более участников, то они должны были набрать не менее 72 очков, в то время как всего в турнире разыгрывалось (12 . 11)/2 = 66 очков.
Теперь приведём пример турнира, в котором звание мастера получили 7 участников. Пусть первые 7 (по списку) участников всегда выигрывали у последних 5, а все остальные партии завершились вничью. Тогда первые 7 участников набрали по 1 . 5 + 0, 5 . 6 = 8 очков, а последние 5 —
по 0 . 7 + 0, 5 . 4 = 2 очка.
Ответ. а) могли; б) не могли.
| 